GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI

PHÂN DẠNG

1

&

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TÀI LIỆU DẠY THÊM - THEO SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC

TOÁN
TOÁN
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38

53

54

55

56

59 60 1 2
57 58
3

11

12

4

1

5

6

KHOI-MATH

10

7

8

2

9

9

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

3

8
37

36

7

35

34

6

33 32
27
31 30 29 28

5
26

25

4
24

23

University
KHOI-MATH
0909 461 641

KN
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

7

MỤC LỤC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

MỤC LỤC
Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

1

Bài 20. TỈ LỆ THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Tính chất của tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Dạng 1. Nhận biết tỉ số - Tỉ lệ thức

.......................................................................................

Dạng 2. Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức

...............................................................................

1
3

Dạng 3. Lập tỉ lệ thức từ các số hoặc đẳng thức cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dạng 5. Các bài toán thực tế sử dụng tỉ lệ thức.

......................................................................

7

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
D Bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bài 21. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Dạng 1. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm các đại lượng chưa biết
Dạng 2. Chứng minh tỉ lệ thức. Tính giá trị biểu thức

..........................

17

.............................................................

21

Dạng 3. Áp dụng tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau để giải bài toán khác

............................

21

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
D Bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Bài 22. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. Đại lượng tỉ lệ thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Tính chất: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Dạng 1. Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận

................................................................................

Dạng 2. Tìm giá trị của một đại lượng tỉ lệ thuận khi biết giá trị của đại lượng kia
Dạng 3. Giải bài toán thực tế về hai đại lượng tỉ lệ thuận

35

....................

37

........................................................

38

Dạng 4. Chia một số M thành những phần x, y , z tỉ lệ thuận với các số a, b, c cho trước

.......

40

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
D Bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

i

MỤC LỤC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

Bài 23. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1. Đại lượng tỉ lệ nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng

1.
2.
3.
4.

Nhận biết đại lượng tỉ lệ nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tìm giá trị của một đại lượng tỉ lệ nghịch khi biết giá trị của đại lượng kia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Giải bài toán thực tế về hai đại lượng tỉ lệ nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chia một số M thành những phần x, y , z tỉ lệ nghịch với các số a, b, c cho trước . . . . . . 62

C Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
D Bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ÔN TẬP CHƯƠNG VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B Bài tập bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

i/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

1

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

6

Chûúng
TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG
TỈ LỆ
TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
Baâi
AA
1

20

TỈ LỆ THỨC

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Tỉ lệ thức

2

a
c
= .
b
d

c
a
= còn được viết dưới dạng a : b = c : d.
b
d

Tính chất của tỉ lệ thức

Tính chất của tỉ lệ thức:
○ Nếu

a
c
= thì ad = bc.
b
d

○ Nếu ad = bc (với a, b, c, d ̸= 0) thì ta có bốn tỉ lệ thức:
a
c
= ;
b
d
Nhận xét. Từ tỉ lệ thức

d
c
= ;
b
a

d
b
= .
c
a

a
c
= (a, b, c, d ̸= 0) suy ra
b
d
a=

BA

a
b
= ;
c
d

bc
;
d

b=

ad
;
c

c=

ad
;
b

d=

bc
.
a

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận biết tỉ số - Tỉ lệ thức

c Ví dụ 1. Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a)

8
4
: ;
12 15

b) 0, 75 : 2, 5;

c)

−5
: 1, 5;
3

d) 0, 45 : 1, 35;

e)

3 9
: .
2 16

Lời giải.
8
4
8 15
5
:
=
·
= .
12 15
12 4
2
75 25
75 10
3
b) 0, 75 : 2, 5 =
:
=
·
= .
100 10
100 25
10
−5
−5 15
−5 10
−10
c)
: 1, 5 =
:
=
·
=
.
3
3 10
3 15
9
a)

1/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

2

20. TỈ LỆ THỨC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

d) 0, 45 : 1, 35 =
e)

45 135
1
:
= .
100 100
3

3 9
3 16
8
:
= ·
= .
2 16
2 9
3
□

c Ví dụ 2. Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a)

21 15
: ;
16 20

b) 2, 3 : 1, 65;

c)

−11
: 2, 7;
9

1
5
d) 5 : 5 ;
4
6

e) 25, 5 : 1

9
.
42

Lời giải.
a)

21 15
21 20
7
:
=
·
= .
16 20
16 15
4

b) 2, 3 : 1, 65 =
c)

23 100
46
23 165
:
=
·
= .
10 100
10 165
33

−11
−11 27
−11 10
−110
: 2, 7 =
:
=
·
=
.
9
9
10
9
27
243

1
5
21 35
9
d) 5 : 5 =
:
= .
4
6
4
6
10
e) 25, 5 : 1

255 51
9
=
:
= 21 : 1.
42
10 42
□

c Ví dụ 3. Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
b)

a) 18 : 24 ;

8 2
: ;
15 3

c) 2, 7 : 3, 6.

Lời giải.
3
a) 18 : 24 = ;
4
b)

8 3
4
8 2
: =
· = ;
15 3
15 2
5

3
c) 2, 7 : 3, 6 = ;
4
Vậy ta lập được tỉ lệ thức 18 : 24 = 2, 7 : 3, 6.

□

c Ví dụ 4. Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
b)

14 49
: ;
11 11

Vậy ta lập được tỉ lệ thức (−10) : (−35) =

14 49
: .
11 11

a) (−10) : (−35);

c) 1, 8 : (−6, 3).

Lời giải.
a) (−10) : (−35) =
b)

14 49
14 11
2
:
=
·
= ;
11 11
11 49
7

c) 1, 8 : (−6, 3) =

2/82

−10
2
= ;
−35
7

−2
−4
=
;
7
14
□

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

3

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

Dạng 2. Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức

c Ví dụ 5. Tìm x trong các tí lệ thức sau:
a)

x
15
= ;
6
8

b)

12
3
=
;
x
−8

c)

x
−11
=
;
16
12

d)

11
−20
=
;
10
x

e)

x
5
= ;
0, 9
6

f)

−6
9
=
;
x
−15

g)

5
2x
= ;
6
3

h)

x
5
= ;
8
4

i)

x2
24
= .
6
25

Lời giải.
a)

x
15
6 · 15
45
=
⇒x=
= .
6
8
8
4

b)

12
3
12 · (−8)
=
⇒x=
= −32.
x
−8
3

c)

−11
16 · (−11)
−44
x
=
⇒x=
=
.
16
12
12
3

d)

11
−20
10 · (−20)
−200
=
⇒x=
=
.
10
x
11
11

e)

x
5
0, 9 · 5
= ⇒x=
= 0, 75.
0, 9
6
6

f)

−6
9
(−6) · (−15)
=
⇒x=
= 10.
x
−15
9

g)

2x
5
= ⇒ (2x) · 3 = 6 · 5 ⇒ 6x = 6 · 5 ⇒ x = 5.
6
3

h)

x
5
= ⇒ 4x = 8 · 5 ⇒ x = 2 · 5 = 10.
8
4

i)

x2
24
6 · 24
144
12
=
⇒ x2 =
⇒ x2 =
⇒x=± .
6
25
25
25
5
□

c Ví dụ 6. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
a)

14 9
3
:
=x: ;
15 10
7

3
b) 1 : 8 = 2, 5 : x;
5

c)

x
8
= ;
2
x

d)

3x − 7
5
= .
8
2

Lời giải.
a)

14 9
3
14 3 9
4
:
=x: ⇒x=
· :
= .
15 10
7
15 7 10
9

3
8
b) 1 : 8 = 2, 5 : x ⇒ x = 8 · 2, 5 : = 12, 5.
5
5
c)

x
8
= ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ±4.
2
x

d)

3x − 7
5
5·8
= ⇒ 3x − 7 =
= 20 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 27 : 3 = 9.
8
2
2
□

3/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

4

20. TỈ LỆ THỨC

c Ví dụ 7. Tìm tỉ số

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

x
x−y
3
, biết
= .
y
x + 2y
4

Lời giải.
x−y
3
= ⇒ 4x − 4y = 3x + 6y
x + 2y
4
⇒ 4x − 3x = 6y + 4y
⇒ 4x − 3x = 6y + 4y
x
⇒ x = 10y ⇒ = 10.
y
□
Dạng 3. Lập tỉ lệ thức từ các số hoặc đẳng thức cho trước

c Ví dụ 8. Lập một tỉ lệ thức từ các số sau
1 1
3 : 11; 0, 75 : 2 ; 4 : 14.
2 5

Lời giải.
3 : 11 =

1
3 5
3
1
21
3
3
; 0, 75 : 2 = : = ; 4 : 14 =
: 14 = .
11
2
4 2
10 5
5
10

1
1
Do đó ta có tỉ lệ thức 0, 75 : 2 = 4 : 14.
2
5

□

c Ví dụ 9. Từ bốn số −2; 3; 4; −6 có thể lập được một tỉ lệ thức không? Nếu có, hãy lập tất cả các tỉ lệ
thức từ bốn số đó.

Lời giải.

−2
4
=
.
3
−6
Từ (1), hoán vị ta được ba tỉ lệ thức khác là

Ta có (−2) · (−6) = 3 · 4. Do đó

−6
4
=
3
−2

(2);

(1)

−2
3
=
4
−6

(3);

−6
3
=
. (4)
4
−2
□

1
c Ví dụ 10. Cho năm số 3; 4; 4 ; 5; 6. Hãy chọn ra bốn số để lập thành tất cả các tỉ lệ thức.
2

Lời giải.
Ta có
3 · 6 = 4 · 4, 5 (= 18).
Từ bốn số này ta có thể lập thành các tỉ lệ thức sau
3
4, 5
=
4
6

(1);

6
4, 5
=
4
3

(2);

3
4
=
4, 5
6

(3);

6
4
=
4, 5
3

(4).
□

c Ví dụ 11. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có được từ 4 số −25; −2; 4; 50.

Lời giải.
4/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

5

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

Ta có (−25) · 4 = (−2) · 50 = 100.
Từ đó ta có thể viết được các tỉ lệ thức sau
−25
50 −25
−2 −2
4 50
4
= ;
=
;
= ;
=
.
−2
4 50
4 −25
50 −25
−2
□
1
c Ví dụ 12. Cho sáu số 1; 2; 3; 4; 4 ; 6. Hãy lập bộ bốn số trong sáu số đó sao cho mỗi bộ số này có thể
2
lập thành một tỉ lệ thức. Với mỗi bộ bốn số hãy lập thành một tỉ lệ thức.

Lời giải.
Ta có thể lập được tất cả các bộ bốn số mà mỗi bộ bốn số này có thể lập thành một tỉ lệ thức. Đó là
(1)
(2)
(3)

1
3
= ;
2
6
4
2
(2; 3; 4; 6) ⇒ = ;
6
Å
ã3
1
3
4, 5
3; 4; 4 ; 6 ⇒ =
.
2
4
6
(1; 2; 3; 6) ⇒

□
c Ví dụ 13. Cho tập hợp các số A = {4; 8; 16; 32; 64}. Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ thức mà các số hạng của
nó là 4 số khác nhau trong các số đã cho.

Lời giải.
Có 5 nhóm gồm 4 số thuộc A là {4; 8; 16; 32}, {8; 16; 32; 64}, {4; 8; 32; 64}, {4; 16; 32; 64}, {4; 8; 16; 64}.
○ Với bốn số {4; 8; 16; 32} ta có 8 · 16 = 4 · 32. Từ đó được 4 tỉ lệ thức
32 8
4 4
16 32
16
8
= ;
= ; = ;
= .
4
16 32
16 8
32 8
4
○ Với bốn số {8; 16; 32; 64} ta có 8 · 64 = 16 · 32. Từ đó được 4 tỉ lệ thức
8
32 8
16 16
64 32
64
= ;
= ;
= ;
= .
16
64 32
64 8
32 8
16
○ Với bốn số {4; 8; 32; 64} ta có 4 · 64 = 8 · 32. Từ đó được 4 tỉ lệ thức
4
32 4
8 8
64 32
64
= ;
= ; = ;
= .
8
64 32
64 4
32 4
8
○ Với các nhóm 4 số {4; 16; 32; 64} và {4; 8; 16; 64} không thành lập được tỉ lệ thức nào.
□
c Ví dụ 14. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức 3 · 4 = 2 · 6.

Lời giải.
Các tỉ lệ thức là

3
6 3
2 2
4 6
4
= ; = ; = ; = .
2
4 6
4 3
6 3
2

c Ví dụ 15. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ tỉ lệ thức

Lời giải.
Các tỉ lệ thức
5/82

□
−4
−5
=
.
12
15

−4
12 12
15 −5
15
= ;
=
;
= .
−5
15 −4
−5 −4
12

□

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

6

20. TỈ LỆ THỨC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

c Ví dụ 16. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể thu được từ đẳng thức: 18 · (−20) = (−8) · 45.

Lời giải.
18
45
=
−8
−20
−8
−20
⇒
=
18
45
18
−8
=
⇒
−20
45
−20
45
⇒
=
−8
18

18 · (−20) = (−8) · 45 ⇒

□
c Ví dụ 17. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể thu được từ đẳng thức: (−10) · 20 = (−25) · 8.

Lời giải.
−10
−25
−25
⇒
−10
−25
⇒
20
20
⇒
−25

(−10) · 20 = (−25) · 8 ⇒

8
20
20
=
8
−10
=
8
8
=
−10
=

□
Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức

c Ví dụ 18. Cho tỉ lệ thức

a
c
a
c
=
. Chứng minh rằng = . (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
a+b
c+d
b
d

Lời giải.
Ta có

Vậy ad = bc, suy ra

a
c
=
⇒ a(c + d) = c(a + b) ⇒ ac + ad = ac + bc.
a+b
c+d
c
a
= .
b
d

c Ví dụ 19. Cho tỉ lệ thức

□
a
c
a+b
c+d
= . Chứng minh rằng
=
. (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b
d
a−b
c−d

Lời giải.
a
c
Ta đặt = = k. Suy ra a = kb; c = kd. Khi đó
b
d

Từ (1) và (2) suy ra
6/82

a+b
kb + b
b(k + 1)
k+1
=
=
=
.
a−b
kb − b
b(k − 1)
k−1

(1)

c+d
kd + d
d(k + 1)
k+1
=
=
=
.
c−d
kd − d
d(k − 1)
k−1

(2)

a+b
c+d
=
.
a−b
c−d

□

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

7

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

Dạng 5. Các bài toán thực tế sử dụng tỉ lệ thức.

c Ví dụ 20. Phương cùng các bạn dự định làm các lá quốc kì Việt Nam bằng giấy đảm bảo tỉ lệ quy định,
chiều rộng 14 cm để tham gia Hội khoẻ Phù Đổng. Tính chiều dài của lá cờ.

Lời giải.
Gọi x (cm) là chiều dài của lá cờ Phương và các bạn dự định làm.
14
2
14 · 3
Ta có tỉ lệ thức
= . Suy ra x =
= 21 (cm). Vậy chiều dài của lá cờ là 21 cm.
x
3
2

□

c Ví dụ 21. Để gói 10 chiếc bánh chưng, bà Nam cần 5 kg gạo nếp. Nếu bà muốn gói 45 chiếc bánh chưng
cùng loại gửi cho người dân vùng lũ thì bà cần bao nhiêu kilôgam gạo nếp?

Lời giải.
Gọi x là số kg gạo nếp để làm 45 chiếc bánh chưng.
x
5
5 · 45
Ta có tỉ lệ thức:
=
⇒x=
= 22,5 (kg).
45
10
10
Vậy cần 22,5 kg gạo nếp để làm 45 chiếc bánh.

□

c Ví dụ 22. Theo công thức làm một loại bánh, cứ 100 gam bột bánh thì cần 15 gam nho khô. Hỏi nếu có
36 gam nho khô thì cần bao nhiêu gam bột bánh để làm loại bánh đó?

Lời giải.
Gọi x là số gam bột bánh cần dùng để làm với 35 gam nho khô.
x
100
36 · 100
Ta có tỉ lệ thức:
=
⇒x=
= 240 (g).
36
15
15
Vậy cần 240 gam bột bánh.

□

c Ví dụ 23. Để làm 12 kg mứt tết, bác Nam cần dùng 2 kg đường. Hỏi nếu bác muốn làm 15 kg mứt tết
cùng loại thì cần bao nhiêu kg đường?

Lời giải.
Gọi x là số kg đường cần dùng để làm 15 kg mứt tết.
x
2
15 · 2
Ta có tỉ lệ thức:
=
⇒x=
= 2,5 (kg).
15
12
12
Vậy cần 2,5 kg đường để làm 15 kg mứt tết.

□

c Ví dụ 24. 15 người thợ may xong một đơn hàng trong 20 ngày. Hỏi nếu muốn hoàn thành đơn hàng đó
trong 12 ngày thì cần bao nhiêu người thợ (biết năng suất các người thợ là như nhau)?

Lời giải.
Gọi x là số người thợ may cần có để hoàn thành đơn hàng trong 12 ngày.
x
20
15 · 20
Ta có tỉ lệ thức:
=
⇒x=
= 25 (người).
15
12
12
Vậy cần 25 người thợ may cần có để hoàn thành đơn hàng trong 12 ngày.

□

c Ví dụ 25. Để sửa xong một đoạn đường cần 8 người công nhân làm trong 10 ngày. Hỏi nếu muốn sửa xong
đoạn đường đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người công nhân (biết năng suất của các công nhân là như
nhau)?

Lời giải.
Gọi x là số người công nhân cần có để sửa xong đoạn đường đó trong 5 ngày.
x
10
8 · 10
Ta có tỉ lệ thức: =
⇒x=
= 16 (người).
8
5
5
Vậy cần 16 người công nhân để sửa xong đoạn đường đó trong 5 ngày.
7/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

□
0909 461 641

8

20. TỈ LỆ THỨC

CA

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

BÀI TẬP VẬN DỤNG

c Bài 1. Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a)

9 27
:
25 40

b) 1, 25 : 0, 225

c)

−3
: 0,2
8

c)

−3
−15
: 0,2 =
8
8

Lời giải.
a)

9 27
8
:
=
25 40
15

b) 1, 25 : 0, 225 =

50
9

□
c Bài 2. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ sau bằng tỉ số giữa các số nguyên:
3
a) 3, 75 : 18 .
4

1
2
c) 6 : 73 .
2
3

b) 2, 16 : 9, 3.

Lời giải.
Å
ã Å
ã
15 75
15 4
75 4
3
:
=
·
:
·
= 1 : 5.
a) Cách 1 : 3, 75 : 18 =
4
4
4
4 15
4 15
3
15 75
15 4
1
Cách 2 : 3, 75 : 18 =
:
=
·
= = 1 : 5.
4
4
4
4 75
5
3
Cách 3 : 3, 75 : 18 = 3, 75 : 18, 75 = 1 : 5.
4
b) Tương tự: 2, 16 : 9, 3 = 36 : 155.
1
2
c) 6 : 73 = 3 : 34.
2
3
□
c Bài 3. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ sau bằng tỉ số giữa các số nguyên:
0, 1 : 0, 105;

1 : 0 · 0, 004;

18, 75 : 0, 0375;

46, 2 : 0, 1232

Lời giải.
Ta có:
0, 1 : 0, 105 = 20 : 21
1 : 0, 004 = 250 : 1
18, 75 : 0, 0375 = 500 : 1
46, 2 : 0, 1232 = 375 : 1
□
c Bài 4. Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
6 −16
:
15 15

(−21) : (−56)

0, 375 : 1

Lời giải.
a) (−21) : (−56) =
Vậy tỉ lệ thức là

8/82

3
8

b)

6 −16
−3
:
=
15 15
8

c) 0, 375 : 1 =

3
8

(−21)
0,375
=
·
(−56)
1

□

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

9

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

c Bài 5. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
a)

5
x
= ;
1, 2
6

b)

5
7 3
:x= : .
9
4 10

Lời giải.
a) x = 1.

b) x =

2
.
21
□

c Bài 6. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a)

x
−9
=
·
−16
12

b)

27
−9
=
·
x
3

Lời giải.
a)

x
−9
=
−16
12
(−16) · (−9)
⇒x=
12
⇒ x = 12.

b)

27
−9
=
x
3
3 · 27
⇒x=
−9
⇒ x = −9.
□

c Bài 7. Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:
1
1
1
a) x : 4 = 7 : 2 .
6
2
4

1
1
b) 7, 5 : 3 = (48x) : 5 .
8
4

c) 16 : x2 = x : (−4).

d) x : 0, 27 = 3 : x.

e) 0, 81 :

x
16
= 4 : (−0 · 9).
2
x

1
f) x : y = 3 : 2; y : z = 2 : 1 và z : 1 = 1 : 1 .
4
g) 7 : (8x) = 10 : y; 9 : (2y) = 5 : (3z); 10 : z = 9 : 4.

Lời giải.
Áp dụng tính chất nhân chéo, ta có:
Å
ã
1 1
1
125
8
a) x = 4 · 7
:2 =
= 13 .
6 2
4
9
9
Å
ã
1
1
63
21
b) 48x = 7, 5 · 5
:3 =
⇒x= .
4
8
5
80
c) x3 = −64 ⇒ x = −4.
d) x2 = 0, 81 ⇒ x = ±0, 9.
e)

x 16
2
· 4 = 0, 81 · (−0, 9)· ⇒ x = −2 .
2 x
9

f) x = 0, 8 và y = 1, 6 ⇒ x = 2, 4.
4
g) z = 4 ⇒ y = 12 ⇒ x = 1, 05.
9
□
9/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

10

20. TỈ LỆ THỨC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

c Bài 8. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể thu được từ đẳng thức:
b) 5 · 125 = 252 ;

a) (−3) · 12 = 4 · (−9);

c) 6 · 63 = 9 · 42.

Lời giải.
a) (−3) · 12 = 4 · (−9).
4
12
=
−3
−9

−3
−9
=
4
12

−3
4
=
−9
12

−9
12
=
−3
4

252
5
=
1
125

5
1
=
2
25
125

125
252
=
5
1

6
9
=
42
63

9
63
=
6
42

42
63
= .
6
9

b) 5 · 125 = 252 .
1
125
= 2
5
25
c) 6 · 63 = 9 · 42
6
42
=
9
63

□
c Bài 9. Cho tỉ lệ thức

8
12
=
(1). Hãy hoán vị tỉ lệ thức này để được ba tỉ lệ thức khác.
3
4, 5

Lời giải.
4, 5
12
=
3
8

(2);

8
3
=
12
4, 5

(3);

4, 5
3
=
12
8

(4).
□

c Bài 10. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được
a) Từ bốn số 3; 4; 15; 20.

b) Từ bốn trong năm số 2; 3; 5; 6; 9.

Lời giải.
a) Ta có 3 · 20 = 4 · 15, suy ra
3
15
=
4
20

(1);

20
15
=
4
3

(2);

3
4
=
15
20

9
6
=
3
2

(2);

2
3
=
6
9

(3);

20
4
=
15
3

(4).

b) Ta có 2 · 9 = 3 · 6, suy ra
2
6
=
3
9

(1);

(3);

9
3
=
6
2

(4).
□

c Bài 11. Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập thành một tỉ lệ thức:
15 2929 124 1515 124124 5
;
;
;
;
;
26 37037 281 2626 281281 2
8
3

Lời giải.
Ta có các tỉ lệ thức

10/82

15
1515 1515
5
5
15 124
124124
=
;
=
;
= ;
=
2
2
26
2626 2626
26 281
281281
8
8
3
3

□

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

11

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

c Bài 12. Cho tập hợp các số A = {3; 9; 27; 81; 243}. Hãy liệt kê tất cả các tỉ lệ thức mà các số hạng của nó
là bốn số khác nhau trong tập hợp A.

Lời giải.
Có tất cả 5 nhóm gồm 4 số thuộc tập hợp A
○ Với 4 số thuộc tập hợp {3; 9; 27; 81}, ta có đẳng thức 3 · 81 = 9 · 27. Từ đó ta được 4 tỉ lệ thức
3
27 3
9 9
81 27
81
= ;
= ; = ;
= .
9
81 27
81 3
27 3
9
○ Với 4 số thuộc tập hợp {3; 9; 81; 243}, ta có đẳng thức 3 · 243 = 9 · 81. Từ đó ta được 4 tỉ lệ thức
3
81 3
9 9
243 81
243
=
;
=
; =
;
=
.
9
243 81
243 3
81 3
9
○ Với 4 số thuộc tập hợp {9; 27; 81; 243}, ta có đẳng thức 9 · 243 = 27 · 81. Từ đó ta được 4 tỉ lệ thức
81 9
27 27
243 81
243
9
=
;
=
;
=
;
=
.
27
243 81
243 9
81 9
27
○ Với 4 số thuộc tập hợp {3; 9; 27; 243} và {3; 27; 81; 243} thì không thiết lập được tỉ lệ thức nào.
□
c Bài 13. Cách giải sau đúng hay sai? Giải thích/
a) Bốn số 1, 05 : 1, 47; 42; 30 lập thành một tỉ lệ thức vì nếu sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần 1, 05 <
1 · 47 < 30 < 42, ta có 1, 05 · 42 = 1, 47 · 30(= 44, 1).
b) Bốn số −0, 2; 0, 1; −0, 1; 0, 2 không lập thành một tỉ lệ thức vì nếu sắp xếp theo thứ tự tăng dần −0, 2 <
−0, 1 < 0, 1 < 0, 2 ta có (−0, 2) · 0, 2 ̸= (−0, 1) · 0, 1 (vì −0, 04 ̸= −0, 01).

Lời giải.
a) Đúng , vì đã chỉ ra được tích của hai cặp số bằng nhau, nhưng không cần sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
b) Sai , vì (−0, 1) · 0, 2 = (−0, 2) · 0, 1(= −0, 02) nên ta có tỉ lệ thức:
−0, 2
−0, 1
=
0, 1
0, 2
□
c Bài 14. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ các nhóm bốn số sau không?
7
5
a) 4, 2; 77 ; 0, 03 và .
9
9

b) 15, 381125; 5, 35; 2, 3 và 0, 8.

c) 3, 4; 17; 0, 312 và 1, 56.

d) 32 ; 25 ; 1! + 2! + 3! và 2! + 3! + 4!.

Lời giải.
7
7
5
7
a) Lập được một tỉ lệ thức vì 77 · 0, 03 = và 4, 2 · = .
9
3
9
3
b) Không lập được một tỉ lệ thức nào, vì:
15, 381125 · 5, 35 ̸= 2, 3 · 0, 8
15, 381125 · 2, 3 ̸= 5, 35 · 0, 8
15, 381125 · 0, 8 ̸= 2, 3 · 5, 35.
c) Lập được một tỉ lệ thức vì 3, 4 · 1, 56 = 5 · 304 và 17 · 0, 312 = 5, 304.
d) Lập được một tỉ lệ thức vì 32 · (2! + 3! + 4!) = 9 · 32 và 25 · (1! + 2! + 3!) = 32 · 9.
□
11/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

12

20. TỈ LỆ THỨC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

c Bài 15. Có thể chọn ra bốn trong nhóm năm số (mỗi số chỉ chọn một lần) để lập thành một tỉ lệ thức
được không?
a) 1; 3; 9; 27; 81

b) 4; 5; 6; 7; 8

c) 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 .

d) 3−1 ; 3−3 ; 3−5 ; 3−7 ; 3−9

e)

31 181818 1818 3131 18
;
;
;
; .
57 292929 2929 5757 29

Lời giải.
a) Có thể lập được một tỉ lệ thức vì chẳng hạn: 1 · 27 = 3 · 9.
b) Không lập được một tỉ lệ thức nào.
c) Có thể lập được một tỉ lệ thức vì chẳng hạn: 21 · 24 = 22 · 23 .
d) Có thể lập được một tỉ lệ thức vì chẳng hạn: 3−1 · 3−7 = 3−3 · 3−5 .
e) Có thể lập được một tỉ lệ thức vì chẳng hạn:

31 181818
1818 3131
·
=
·
.
57 292929
2929 5757
□

c Bài 16. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ các số sau hay không, nếu được hãy viết tỉ lệ thức đó (chỉ viết
một tỉ lệ thức đại diện của nhóm)?
a) 0, 7; 0, 3; 0, 9 và 2, 1.
c)

2 1 1 1
; ; ; .
3 3 12 6

e) −6; 4, 15; 2, 075 và −0, 3.

b) 1, 1; 0, 22; 3, 3 và 0, 66.
d)

1 5 3 1
;1 ;1 ; .
4 16 4 6

f) a = (1 + 2 + 3)3 ; b = 33 + 43 + 53 ;
c = 13 + 23 + 33 + 43 ; d = (1 + 2 + 3 + 4)3

Lời giải.
a) Có 0, 3 · 2, 1 = 0, 63 và 0, 7 · 0, 9 = 0, 63. Ta có tỉ lệ thức
b) Có 0, 22 · 3, 3 = 0, 66 · 1, 1(= 0, 726). Ta có tỉ lệ thức
c) Có

0, 3
0, 9
=
.
0, 7
2, 1

0, 22
1, 1
=
.
0, 66
3, 3

Å
ã
1 2
1 1
1 2
1
1 1
· = ·
=
. Ta có tỉ lệ thức
: = : .
12 3
6 3
18
12 3
6 3

d) Xét từng cặp tích:
1
6
1
○ Có
6
1
○ Có
6

○ Có

3
7
1
5
21
·1 =
khác với · 1 = .
4
24
4 16
64
5
7
1 3
7
·1 =
khác với · 1 = .
16
32
4 4
16
1
1
3
5
147
· =
khác với 1 · 1 =
.
4
24
4 16
64

Vậy bốn số đã cho không lập thành một tỉ lệ thức.
e) Xét từng cặp tích:
○ Có (−6) · 4, 15 = −24, 9 khác với 2, 075 · (−0, 3) = −0, 6225.
○ Có (−6) · 2, 075 = −12, 45 khác với (−0, 3) · 4, 15 = −1, 245.
○ Có (−6) · (−0, 3) = 1, 8 khác với 4, 15 · 2, 075 = 8, 61125.
12/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

13

Chương 6. TỈ LỆ THỨC VÀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

Vậy bốn số đã cho không lập thành một tỉ lệ thức.
f) Có a = (1+2+3)3 = 63 = 216; b = 33 +43 +53 = 27+64+125 = 216; c = 13 +23 +33 +43 = 1+8+27+64 = 100
33 + 43 + 53
(1 + 2 + 3)3
=
.
và d = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102 = 100. Có ac = bd. Vậy ta có tỉ lệ thức
(1 + 2 + 3 + 4)2
13 + 23 + 33 + 43
□
c Bài 17. Bớt ở số hạng trên và dưới của cả hai tỉ số

26
38
và
cùng một số tự nhiên x vào để ta được hai
39
57

tỉ số mới lập thành một tỉ lệ thức?

Lời giải.
26
2 · 13
2
38
2 · 19
2
Do
=
= và
=
= nên ta không cần bớt số hạng nào cả. Do đó x = 0.
39
3 · 13
3
57
3 · 19
3

□

c Bài 18. Nhân dịp Tết Nguyên đán, một cửa hàng có chương trình khuyến mãi: mỗi khi khách hàng mua
5 hộp cam thì được tặng 2 hộp mứt. Hỏi nếu muốn được tặng 14 hộp mứt theo chương trình khuyến mãi đó
thì khách hàng cần mua bao nhiêu hộp cam?

Lời giải.
Gọi x là số hộp cam cần phải mua để được tặng 14 hộp mứt (x ∈ N).
5
14 · 5
x
= ⇒x=
= 35.
Ta có :
14
2
2
Vậy cần phải mua 35 hộp cam để được tặng 14 hộp mứt.

□

c Bài 19. Để chảy đầy một bể cạn, 3 máy bơm cần chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu có 6 máy bơm cùng chảy vào
bể cạn đó thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Lời giải.
Gọi x (giờ) là thời gian để 6 máy bơm cùng chảy vào bể cạn đầy bể.
Thời gian và số máy bơm tỷ lệ nghịch nên ta có
2·3
6·x=2·3⇒x=
= 1.
6
Vậy cần 1 giờ để 6 máy bơm chảy đầy bể.

DA

□

BÀI TẬP NÂNG CAO

c Bài 20. Tìm số hữu tỉ x, biết:
1
a) (x − 2, 5) : 1 = x : 2.
2

Å
b)

ã Å
ã
1
3
7
+x : x+
= .
3
4
9

Lời giải.
1
3
1
a) (x − 2, 5) : 1 = x : 2 ⇔ 2(x − 2, 5) = x ⇔ x = 5 ⇔ x = 10.
2
2
2
Å
ã Å
ã
Å
ã
Å
ã
1
3
7
1
3
9
9
b)
+x : x+
= ⇔9
+x =7 x+
⇔ 2x = ⇔ x = .
3
4
9
3
4
4
8
□
c Bài 21. Tìm x, nếu:
a) y : 40 = 36 : 26; z : y = 25 : 20; x : z = 0, 65 : 1.
b) (x · y · z) : (y · z · 72) = 6300 : 7500.
c) (17 · 16 · 12) : (z · 12x · y) = (3 · 51 · 32) : (y · 6 · z).
13/82

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

14

20. TỈ LỆ THỨC

TÀI LIỆU TOÁN 7 KẾT NỐI TRI THỨC

d) x : y = 3 : 2; y : z = 2 : 1 và z : 1 = 1 : 1, 25.

Lời giải.
a) Vì y : 40 = 36 : 26 nên y =

900
720
. Vì z : y = 25 : 20 nên z =
. Vì x : z = 0, 65 : 1 nên x = 45.
13
13

b) Vì (x · y · z) : (y · z · 72) = 6300 : 7500 nên x =
c) Đẳng t...